「Newton別冊 虚数とは何か 改訂版」
ー数の概念を変えた，現代科学を支えるiとは？ー
かつて，フランスの数学者デカルトが，その存在を認めず「想像上の数」とよんだ奇妙な数，それが「虚数」です。プラスの数もマイナスの数も，普通の数は2乗する（2回かける）と必ずプラスになるはずです。ところが虚数は「2乗するとマイナスになる」のです。存在が認められるまでに長い時間がかかった虚数も，現代では高校でも学ばれる重要な概念です。
虚数と実数を足しあわせた「複素数」は，数学だけでなく，自然界を解き明かす物理学でも重要な役割を果たしています。また，複素数を拡張した「四元数」は，CGや3Dゲーム，AIの開発にも使われています。
本書は，虚数についてくわしく解説するとともに，虚数にいたるまでの人類と数の歴史も紹介しています。虚数の不思議な世界を，ぜひお楽しみください。
目次
1. 数の歴史 人類が虚数と出会うまで
イントロダクション
自然数
ゼロ
負の数
負の数のかけ算
有理数
無理数
実数
Column 1 2が無理数であることの証明
Column 2 2を分数であらわす方法─連分数
Topics 実数の完成と無限の概念
2. 虚数とは何か
虚数のはじまり
カルダノの“解けない問題”
“解けない問題”の答え
3次方程式と虚数
虚数とオイラー
虚数とガウス
虚数が市民権を得るまで
Column 3 「2次方程式」には，実数では答えが出せないものがある
問題に挑戦！
3. 図を見てわかる複素数
複素数のあらわし方
複素数の足し算
複素数のかけ算 ①〜②
複素数の極形式
Q&A 1 複素平面はなぜ「ガウス平面」とよばれる?
Q&A 2 虚数に大小はある?
虚数で解く不思議なパズル ①〜②
Column 4 「カルダノの問題」を複素平面で確かめてみよう
Column 5 「マイナス×マイナス＝マイナス」の世界とは？
複素平面と幾何学
Column 6 複素平面の反転と無限遠点
マンデルブロ集合
代数学の基本定理
Topics 「代数学の基本定理」の証明
四元数
AIの高速化と四元数
Q&A 3 ー1の4乗根，8乗根，16乗根は？
Column 7 複素数ニュートン法によるフラクタル
Column 8 CG，3Dゲームの開発にも欠かせない四元数
Topics 黄金比と正五角形と複素数
問題に挑戦！
4. “世界一美しい” オイラーの等式
オイラーの等式とは？
ネイピア数e
虚数i
円周率π
三角関数
オイラーの等式への道のり ①〜③
オイラーの公式の恩恵
虚数乗の計算
5. 虚数と整数論の深い関係
ガウス素数
平方数和の定理
リーマンの明示公式
虚数の積分を用いた証明
Column 9 素数のかたよりは自然数を支えるため？
6. 虚数と量子力学 〜物理学に秘められた虚数～
電気回路と虚数
光・天体と虚数
Column 10 航空機と虚数
4次元時空と虚数 ①〜②
未知の粒子と虚数
Colunm 11 超光速通信で
3年前の自分にメールを送れる
量子力学と虚数 ①〜③
Q&A 4 実在しない虚数が，
なぜ自然界にかかわる？
Topics 量子力学と複素数
Topics 小林・益川理論と虚数
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